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Stabilité de Lyapunov de systèmes couplés impliquant une équation de transport

Authors
  • Safi, Mohammed
Publication Date
Oct 31, 2018
Source
HAL-UPMC
Keywords
Language
French
License
Unknown
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Abstract

Les travaux développés dans cette thèse concernent la théorie du contrôle ont pour objectif de proposer une nouvelle approche pour l’étude de stabilité d’un système de dimension infinie où une équation différentielle ordinaire est couplée à une équation de transport par les termes de bord du domaine spatial. L’idée est d’exploiter des travaux récents effectués dans le cadre des systèmes à retard pour quantifier la stabilité d’un système couplant une équation aux dérivées partielles à des équations différentielles. Ces travaux s’appuient sur les polynômes de Legendre et l’inégalité de Bessel, pour construire une approche de la stabilité par la méthode de Lyapunov et l’utilisation d’inégalités matricielles linéaires. Les polynômes de Legendre servent à la construction d’une fonctionnelle de Lyapunov basée en partie sur une approximation polynomiale de l’état de l’équation de transport (qui est de dimension infinie). Le manuscrit s’articule en plusieurs étapes. Après la présentation d’un simple modèle couplant des équations différentielles ordinaires avec une équation de transport, l’approximation de l’état de dimension infinie utilisant une projection sur les polynômes de Legendre est décrite. La méthode de Lyapunov est ensuite développée et son fonctionnement nécessite la production de conditions de stabilité sous forme d’inégalités matricielles linéaires. Ces conditions permettent des tests numériques effectués sur des exemples académiques. Des cas plus difficiles sont abordés au fil du document, allant d’une unique équation de transport à plusieurs équations aux vitesses différentes, la prise en compte d’un terme de couplage entre celles ci via un potentiel ou via le bord du domaine. Enfin, un tel couplage avec une équation de transport pouvant être une description alternative d’un système à retard, une étude de la stabilité de ce dernier est développée en utilisant des modèles différents du système couplé, dans le but de réduire la complexité des conditions de stabilité données sous forme des inégalités matricielles.

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