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Relaxations semi-definies positives pour l'imagerie

Authors
  • Catala, Paul
Publication Date
Oct 01, 2020
Source
HAL
Keywords
Language
French
License
Unknown
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Abstract

Cette thèse propose des avancées théoriques et algorithmiques pour les relaxations semidéfinies positives et leurs applications en science des données. Ces relaxations, dites de Lasserre, fondées sur la substitution aux mesures boréliennes de leurs moments trigonométriques, permettent de résoudre des problèmes de super-résolution sans discrétisation spatiale, mais nécessitent en contrepartie la résolution de problèmes d’optimisation convexe de grande taille. Les contributions de cette thèse montrent comment faire passer ces méthodes à l’échelle en exploitant certaines propriétés et invariances des problèmes d’imagerie. Nous proposons dans un premier temps une nouvelle méthode pour la reconstruction de mesures continues à partir d’un nombre fini de leurs moments, reposant sur un algorithme de codiagonalisation approchée. Nous étudions ensuite le problème de super-résolution, sous sa forme variationnelle appelée BLASSO, et son approximation par la hiérarchie de Lasserre. Une étape préalable de projection spectrale de l’opérateur d’acquisition rend possible cette approximation et permet également son implémentation efficace via un nouvel algorithme, le Fourier-based Frank- Wolfe (FFW), tirant profit de la structure convolutive et de faible rang des matrices impliquées. Nous appliquons notre méthode sur des données de microscopie par fluorescence. Enfin, combinant la reconstruction de mesures continues avec l’implémentation rapide de FFW, nous employons les hiérarchies de Lasserre afin d’approcher le transport optimal entre deux mesures, qui peut également être couplé avec le Blasso.

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