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Perturbations singulières pour des EDP linéaires et non linéaires en presence de discontinuités

Authors
Publisher
Université Paris Sud - Paris XI
Publication Date
Keywords
  • [Math] Mathematics
  • [Math] Mathématiques
  • Singular Perturbations
  • Asymptotic Analysis
  • Numerical Simulation
  • Boundary Layers
Disciplines
  • Physics

Abstract

Ma thèse porte sur l'étude des couches limites et de perturbations singulières (\textit{i.e.} des problèmes caractérisés par la présence d'un petit paramètre qui tend vers zéro) dans des conditions plus délicates que d'habitude, à savoir lorsque la solution limite n'est pas régulière. Je considère ainsi deux classes de problèmes réguliers associes à un laplacien et à un bilaplacien, et un problème non linéaire dérivé du problème de Plateau (surfaces minimas), pour lequels la fonction limite possède une singularité (discontinuité simple pour les premiers problèmes, dérivée normale infinie sur certaines parties de la frontière pour le second).\\ La première partie de cette thèse est consacrée à l'étude de deux modèles linéaires singuliers associés à des perturbations singulières pour des EDPs ayant une fonction source singulière. Ce type d'équations fait l'objet de plusieurs applications, par exemple les problèmes de flambement en élasticité, les tourbillons singuliers en mécanique des fluides, le problème de la charge critique pour une poutre ou une plaque élastoplastique, le problème du contrôle automatique de la trajectoire d'un mobile et le problème du bord arrière pour l'écoulement autour d'une aile. De manière classique, la présence d'un petit paramètre dans des équations aux dérivées partielles entraîne, dans certains cas, l'apparition d'une couche limite classique près du bord du domaine pour la solution dite régularisée. Cependant, si on considère en plus une fonction source discontinue (voire une distribution), on constate que de nouvelles couches limites apparaissent à l'intérieur du domaine; l'étude de celles-ci constitue le principal but de cette première partie. Dans la deuxième partie, on s'intéresse à l'étude du problème des surfaces minimales sur une couronne. Pour certaines classes de données au bord, ce problème n'admet pas de solution et sa solution faible dite ``généralisée'' admet une dérivée infinie. On introduit alors une méthode de régularisation elliptique qui entraîne une couche limite près du bord. Le résultat fondamental de cette partie consiste à donner explicitement une approximation pour cette solution régularisée.

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