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Sur une question proposée par M. Fontené

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Disciplines
  • Mathematics

Abstract

Sur une question proposée par M. Fontené NOUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES E. CAHEN Sur une question proposée parM. Fontené Nouvelles annales de mathématiques 4e série, tome 11 (1911), p. 70-72. <http://www.numdam.org/item?id=NAM_1911_4_11__70_0> © Nouvelles annales de mathématiques, 1911, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Nouvelles annales de mathématiques » implique l’accord avec les condi- tions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal. php). Toute utilisation commerciale ou impression sys- tématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la pré- sente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ [I7a] SUR UNE QUESTION PROPOSÉE PAR >1 FONTENÉ; PAR M. E. GAHEN. De la propriété énoncée par M. Fontené (4e série, t. IX, p. 384) et résolue par M. Bricard (4esérie, t. X, p. 47^), on peut déduire deux conséquences intéres- santes. Je suppose & = i de sorte que le théorème prend la forme suivante : p étant un nombre premier et a un entier non = i (mod p), le nombre aP~x -h aP~2 -+-. . . -4- a -+-1 a tous ses diviseurs premiers et, par suite, tous ses diviseurs = i (modp). I. Le polynôme xP~K -f- #^~2H-. . . +x -f-1 est irréductible. Car soit xP-t -h XP-* -+-.. .-f- x -h i =ƒ(#) g(x), f et g étant deux polynômes entiers à coefficients entiers. Donnons à x toutes les valeurs incongrues (mod/?) possibles, sauf la valeur T, soient O, 2, 3, ..., p — i. Pour chacune de ces/7 — i valeurs ƒ (#), qui est un diviseur de xP~{ -f- xP~2 -h . • • -f- x -h î, prend une valeur = i (mod/?). Donc la congruence f(x)~i(modp) a p — i racines incongrues. Donc ou bien elle est identique, ou bien son degré ne peut être inférieur à p — i. Or, si elle est identique, comme son premier (7' ) coefficient est manifestement égal à i, c'est que ƒ (x) se réduit à i. Si elle est de degré p— i, c'est g'(x) q

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