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Estimation of stopping times for some stopped random processes

Authors
  • Schulmann, Viktor
Publication Date
Jan 01, 2019
Identifiers
DOI: 10.17877/DE290R-20036
OAI: oai:eldorado.tu-dortmund.de:2003/38053
Source
Eldorado - Ressourcen aus und für Lehre, Studium und Forschung
Keywords
Language
English
License
Unknown

Abstract

Die Dissertation beschäftigt sich mit dem folgenden Problem: Sei X ein bekannter stochastischer Prozess und T eine unbekannte von X unabhängige Stoppzeit. Das Ziel ist es, auf Grundlage einer Stichprobe von X zur Zeit T die Verteilung von T zurückzugewinnen. Insbesondere sollen nichtparametrische Schätzer für die Dichte f von T konstruiert werden. Belomestny und Schoenmakers lösten dieses statistische Problem in zwei Artikeln aus 2015 und 2016 für die Fälle, wo X entweder eine Brownsche Bewegung oder ein Lévy-Prozess ist. In der vorliegenden Arbeit werden zunächst ihre Resultate bezüglich der Brownschen Bewegung auf selbstähnliche Prozesse verallgemeinert. Ein besonderer Fokus liegt auf Bessel-Prozessen. Als Folge ergibt sich eine Verallgemeinerung der Resultate aus Belomestny und Schoenmakers (2015) auf die mehrdimensionale Brownsche Bewegung. Dies wird durch das Betrachten der euklidischen Norm einer mehrdimensionalen Brownschen Bewegung erreicht, wodurch das Problem auf den Fall eines Bessel-Prozesses zurückgeführt wird. Dieser Prozess ist eindimensional und kann ähnlich wie der Fall einer eindimensionalen Brownschen Bewegung behandelt werden. In einem zweiten Schritt werden sogenannte Sturm-Liouville-Prozesse betrachtet. Diese Prozesse verallgemeinern den Begriff eines Bessel-Prozesses und entstehen häufig aus Normen von anderen mehrdimensionalen Prozessen. Dadurch eignen sie sich besonders zum Modellieren von Teilchenbewegungen in bestimmten physikalischen Experimenten. Darüber hinaus weisen sie eine zu Lévy-Prozessen ähnliche Struktur auf und können durch die für diesen Fall zur Verfügung stehenden Methoden behandelt werden. Die Arbeit ist im Groben wie folgt gegliedert: In einem vorbereitenden Kapitel wird die sogenannte Mellin-Transformierte eingeführt. Diese bildet das mathematische Hauptwerkzeug für die gesamte Arbeit. Unter Benutzung dieser Transformierten werden Methoden zur Konstruktion von nichtparametrischen Schätzern von f für die verschiedenen zugrunde liegenden Prozesse entwickelt. Anschließend werden die statistischen Eigenschaften dieser Schätzer untersucht. Unter Anderem wird die Konsistenz der zuvor konstruierten Schätzer bewiesen und es werden ihre optimalen Konvergenzraten bestimmt. Des Weiteren wird die asymptotische Normalität des Schätzers im Falle eines Bessel-Prozesses gezeigt. Möglichkeiten zur Konstruktion von adaptiven Schätzern werden kurz erläutert und ihre Leistungsfähigkeiten durch Simulationen im Bessel-Fall verglichen.

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