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Rigorous resonant 1-d nonlinear geometric optics

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Rigorous resonant 1-d nonlinear geometric optics JOURNÉES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES JEAN-LUC JOLY GUY MÉTIVIER JEFF RAUCH Rigorous resonant 1-d nonlinear geometric optics Journées Équations aux dérivées partielles (1990), p. 1-12. <> © Journées Équations aux dérivées partielles, 1990, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Journées Équations aux dérivées partielles » (http://www., implique l’accord avec les conditions générales d’utili- sation ( Toute utilisation commerciale ou impression sys- tématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fi- chier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques Rigorous Resonant l~d Nonlinear Geometric Optics J . L . Joly 6 . Metivier, and, J . Rauch §1. One phase or simple nonlinear waves. Consider an kxk system of strictly hyperbolic equations CD 9^u + ^ A . ( t , x , u ) ^ j / 3 x , ^ f ( t , x , u ) where xeR , u= (u ( t , x ) , . . . , u ( t , x ) ) is (t valued and the Jl K coefficients A , , f are smooth functions of their arguments. The system is semilinear if the A , do not depend on u and linear if in addition f does not depend on u. Ue consider nonlinear generalizations of the familiar asymptotic solutions of linear geometric optics- These have the form ( 2 ) u8 - e^^^^CaQd.x) + e a ^ ( t . x ) + . . . 3 . Here the phase p is real valued smooth solutions of the eikonal equation with dp nowhere zero. In the linear theory, the construction of one phase solutions is in three steps. Equations for the amplitudes a . are derived by plugging the expansion into the equation and setting the coefficients of powers of C equal to zero. Solving the resulting equations and applying Borel's theorem produces

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