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Sur les variations normales d'un domaine

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brsi.dvi ESAIM� Control� Optimisation and Calculus of Variations Juin ����� Vol� �� �� �� URL� http� www�emath�fr cocv SUR LES VARIATIONS NORMALES D�UN DOMAINE D� BRESCH ET J� SIMON R � esum � e� Les variations normales d�un domaine de r�ef�erence sont fr�e� quemment utilis�ees dans les probl�emes d�optimisation de forme� On montre que de telles variations ne pr�eservent pas la r�egularit�e du do� maine� Plus pr�ecis�ement� on exhibe un domaine born�e � de classe Lip m � m entier� et une variation � de classe C � telle que � �n ne soit pas de classe C m�� � La variation � peut etre choisie aussi petite que l�on d�esire� Ceci montre que l�utilisation des variations normales dans une m�e� thode it�erative d�approximation pour la recherche d�un domaine opti� mal entra �ne une perte de r�egularit�e �a chaque it�eration� de sorte qu�il est pr�ef�erable d�utiliser les variations transverses qui� elles� conservent la r�egularit�e du bord� �� Introduction� Dans les probl�emes d�optimisation de la forme d�un domaine et dans les probl�emes de fronti�ere libre� on est amen�e �a d�eformer un domaine de r�ef�e� rence �� J� Hadamard �� a consid�er�e� d�es ��� les hh variations normales ii � de la forme �n� o�u � est une fonction scalaire d�e�nie sur le bord � de � et o�u n est le champ de vecteurs unitaire normal �a � �orient�e vers l�ext�erieur�� Le domaine d�eform�e a alors pour fronti�ere �voir �gure � � � � �n � fz � ��z�n�z� � z � �g � Cette m�ethode a �et�e utilis�ee par de nombreux auteurs� citons C� Bandle �� C� Bardos et O� Pironneau ��� R�H� Ghallagher et O�C� Zienkiewicz �� T� Masanao et N� Fujii ��� B� Morel ��� O� Pironneau � et �egalement P��A� Raviart ���� L�objet du pr�esent travail est d��etablir que cette m�ethode ne conserve pas la r�egularit�e du bord � Si � est un graphe local qui est Lip m � m entier� en g�en�eral � � �n n�est pas mieux que C m�� �les lettres �a dou

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