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Séries de Fourier aléatoires

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  • Mathematics

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Séries de Fourier aléatoires SÉMINAIRE N. BOURBAKI JEAN-PIERREKAHANE Séries de Fourier aléatoires Séminaire N. Bourbaki, 1958-1960, exp. no 200, p. 441-450. <http://www.numdam.org/item?id=SB_1958-1960__5__441_0> © Association des collaborateurs de Nicolas Bourbaki, 1958-1960, tous droits réservés. L’accès aux archives du séminaire Bourbaki (http://www.bourbaki. ens.fr/) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisa- tion (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commer- ciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ 441 SÉRIES DE FOURIER ALÉATOIRES par Jean-Pierre KAHANE Séminaire BOURBAKI 12e année, 1959/60, n° 200 Mai 1960 1. Historique. La considération, implicite, de séries de Taylor aléatoires remonte à 1896 [1]. Emile BOREL formulait, comme application de la transformation ( a zn -~ ~. a n z , une idée fort curieuse pour l’époque : "Si les coefficients sont quelconques, le cercle de convergence est une coupure". Et il précisait ainsi sa pensée : "Dire que les coefficients sont quelconques, c’est en effet dire que (sauf la condition qui résulte de ce que le rayon de convergence est donné) les valeurs des n pre- miers coefficients n’ont aucune influence sur les valeurs des suivants". Manque évidemment une définition d’un nombre "quelconque". La première formulation correcte de ces considérations en terme de probabilités (ou de mesure) est due à STEINHAUS [2] en 1929. Elle peut s’exprimer ainsi : la série L o rn e n , où sont des variables aléatoires mutuellement in- dépendantes équiparties sur [0, et lim r ~, admet presque sûrement son cercle de convergence pour coupure. Un peu plus tard, PALEY et ZYGMUND obtenaient le même résultat pour les a n zn ( a n fixés s lim ~ a n~ oo ) [4]. Les mémoir

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