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Sur l'équation diophantienne $y^2 = x^3 + k$

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  • Mathematics

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Sur l'équation diophantienne y2 = x3 + k Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres HERVÉMOULIN Sur l’équation diophantienne y2 = x3 + k Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres, tome 16, no 2 (1974-1975), exp. no G14, p. G 1-G 8. <http://www.numdam.org/item?id=SDPP_1974-1975__16_2_A13_0> © Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres (Secrétariat mathématique, Paris), 1974-1975, tous droits réservés. L’accès aux archives de la collection « Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ G14-01 SUR L’ÉQUATION DIOPHANTIENNE y2 = x3 + k par Hervé MOULIN (d’après Séminaire DELANGE-PISOT-POITOU (Groupe d’ét-ade de Théorie des nombres) 16e année, 1974/75, n° G14, 8 p. 7 avril 1975 Le problème de la représentation d’un nombre entier donné k par la différence d’un carré et d’un cube a intéressé de longue date les mathématiciens. DICKSON relève ce problème dès 1621 dans la littérature chap. 20). L’intérêt de cette équation est sans doute qu’elle est "la plus simple des équations diophantiennes difficiles". Bien qu’aucune méthode de résolution systématique de (*) n’ait été trouvée à ce jour, démontra, en 1909, un théorème qui permit à MORDELL, en 1922, de prouver que, pour tout k non nul, l’équation (*) n’a qu’un nombre fini de solutions (cf. Mais cette méthode ne permettait pas un calcul effectif d’une borne de ces solutions : on doit ce calcul à BAKER (cf. BAKER [2J). 1. Méthodes de congruence. Soit F(X1 , ... , Xn) un polynôme à coefficients entiers. Alors, s’il existe des entiers (x1 , ... xn) solutions de F(x1 , ... , xn) = 0 la même

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