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Étude d'approximations de problèmes de transport optimal et application à la physique

Authors
  • Coyaud, Rafaël
Publication Date
Jan 25, 2021
Source
HAL
Keywords
Language
French
License
Unknown
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Abstract

Le transport optimal (TO) a de nombreuses applications; mais son approximation numérique est complexe en pratique. Nous étudions une relaxation du TO pour laquelle les contraintes marginales sont remplacées par des contraintes de moments (TOCM), et montrons la convergence de ce dernier vers le problème OT. Le théorème de Tchakaloff nous permet de montrer qu'un minimiseur du problème MCOT est une mesure discrète chargeant un nombre fini de points, qui, pour les problèmes multimarginaux, est linéaire en le nombre de marginales, ce qui permet de contourner le fléau de la dimension. Cette méthode est aussi adaptée aux problèmes de TO martingale. Dans certains cas fondamentaux, nous obtenons des vitesses de convergence en [dollar]O(1/n)[dollar] ou [dollar]O(1/n^2)[dollar], où [dollar]n[dollar] est le nombre de moments, ce qui illustre leur rôle. Nous présentons un algorithme, basé sur un processus de Langevin sur-amorti contraint, pour résoudre le problème TOCM; prouvons que tout minimiseur local du problème TOCM en est un minimiseur global; et l'illustrons sur des exemples de larges problèmes TOCM symétriques. Nous étendons une méthode (E. Cances et L.R. Scott, SIAM J. Math. Anal., 50, 2018, 381--410) pour calculer un nombre arbitraire de termes dans la série asymptotique de l'interaction de van der Waals entre deux atomes d'hydrogène. Ces termes sont obtenus en résolvant un ensemble d'EDP de Slater--Kirkwood modifiées. La précision de cette méthode est montrée par des exemples numériques et une comparaison avec d'autres méthodes issues de la littérature. Nous montrons aussi que les états de diffusion de l'atome d'hydrogène ont une contribution majeure au coefficient C[dollar]_6[dollar] de la série de van der Waals.

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