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Sur les fonctions intégrables au sens de Lebesgue

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  • Mathematics

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Sur les fonctions intégrables au sens de Lebesgue ANNALES DE LA FACULTÉ DES SCIENCES DE TOULOUSE PIERRE LALAGUË Sur les fonctions intégrables au sens de Lebesgue Annales de la faculté des sciences de Toulouse 4e série, tome 23 (1959), p. 115-139. <http://www.numdam.org/item?id=AFST_1959_4_23__115_0> © Université Paul Sabatier, 1959, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Annales de la faculté des sciences de Toulouse » (http://picard.ups-tlse.fr/∼annales/), implique l’accord avec les conditions générales d’utili- sation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression sys- tématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fi- chier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Sur les fonctions intégrables au sens de Lebesgue par Pierre LALAGUË INTRODUCTION Dans deux notes (1 ) aux Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, M. ZAMANSKY avait notamment montré comment on peut construire l’en- semble Li des fonctions d’une variable réelle « sommables » au sens de Lebesgue par complétion à partir de l’ensemble des fonctions en escalier. L’exposé suivant a le même but, mais s’i,nspire aussi de la méthode (2 ) y de M. Frédéric RIESz. Pour construire l’ensemble des fonctions « absolument intégra~bles » au sens de Lebesgue, il suffit de considérer d’albord les suites monotones et de Cauchy, selon la norme Vu de fonctions en escalier (la norme vi d’une fonction en escalier étant l’intégrale de sa valeur absolue). On passe ensuite plus facilement aux suites de Cauchy quelconques. Les intégrales définies dont il est question dans cet article sont des inté- grales sur la droite entière, et la méthode suivie a pour avantage accessoire d’éviter la considération préalable de l’intégrale sur un intervalle fini. Pour montrer le caractère élémentaire de la méthode employée, nous établisson

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