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Un résultat d'existence en optimisation de forme en utilisant une propriété géométrique de la normale

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bark1.dvi ESAIM� Control� Optimisation and Calculus of Variations May ����� Vol� �� pp� � ���� URL� http� www�emath�fr cocv UN R � ESULTAT D�EXISTENCE EN OPTIMISATION DE FORME EN UTILISANT UNE PROPRI � ET � E G � EOM � ETRIQUE DE LA NORMALE M� BARKATOU ET A� HENROT R � esum � e� Dans cet article nous prouvons un nouveau r�esultat d�exis� tence pour une classe de probl�emes d�optimisation de forme assez g�e� n�erale� Les ouverts que nous consid�erons poss�edent une contrainte de nature g�eom�etrique sur la normale int�erieure� Ce travail est motiv�e par la formulation variationnelle d�un probl�eme �a fronti�ere libre dont la solution poss�ede cette propri�et�e g�eom�etrique� �� Introduction Les probl�emes d�optimisation de forme� o�u il s�agit de trouver un ouvert de R N � par exemple� qui minimise un crit�ere donn�e ont �et�e beaucoup �etudi�es� en particulier en France� ces derni�eres ann�ees �voir par exemple le livre de O� Pironneau � ��� La question de l�existence d�une solution est souvent une question d�elicate et� dans la plupart des cas� il appara �t n�ecessaire de mettre des contraintes sur la classe d�ouverts consid�er�es a�n de pouvoir prouver l�existence d�un minimum en un sens classique� Citons dans cet es� prit� le travail pionnier de D� Chenais ��� o�u on travaille avec des ouverts qui poss�edent tous la propri�et�e du ��c one� c�est��a�dire qu�ils ont une r�egularit�e lipschitzienne uniforme� D�autres auteurs� comme D� Bucur et J�P� Zolesio plus r�ecemment ��� ont a�aibli cette hypoth�ese de r�egularit�e uniforme en la rempla�cant par une hypoth�ese sur la capacit�e des points du bord de type Wiener� Dans un joli papier de ��� � ��� V� � Sverak a montr�e qu�en di� mension deux� on pouvait obtenir des r�esultats d�existence �a condition de se placer dans la classe des ouverts dont le compl�ementaire a au plus m com� posantes connexes �o�u m est un entier �x�e�� En�n� il est �egalement

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