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Calcul de Schubert affine et formules de Pieri

Authors
  • Kfoury, Dimitry
Publication Date
Dec 04, 2020
Source
HAL-INRIA
Keywords
Language
French
License
Unknown
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Abstract

Les formules de Pieri sont des formules qui permettent de comprendre la structure d'algèbre de cohomologie de la Grassmannienne (affine) ou même celle des variété de Drapeaux. Plusieurs sont déjà établies dans quelques types et cas particuliers. Cependant ce problème reste encore ouvert pour la plupart des cas affines, en particulier pour trouver des formules de Pieri dans $H^*(\mathcal{G}r_G)$ en types $B$, $C$ et $D$.Dans cette thèse, même si on généralise quelques résultats pour un groupe de Weyl affine non-tordu général, on explore principalement les types A et C.Dans la variété de drapeaux de type A affine, on trouve une formule pour la multiplication, dans l'algèbre de cohomologie d'une variété de drapeaux, d'un élément de la base $\xi^w$ par un autre (spécial) qu'on appellera ''crochet''. On montre ce résultat en utilisant la formule de Pieri donnée par Lam et al dans \cite{insertion}.En type C affine, on propose une conjecture pour une formule de Pieri en Cohomologie, en montrant qu'elle est valide en degré 1 et ''presque'' tous les cas du degré 2. On la vérifie aussi, en testant de nombreux exemples à l'aide de l'ordinateur.En Homologie, on redémontre, en utilisant une nouvelle stratégie simplifiée, la formule de Pieri en type C \cite{lam2010schubert}. Cette nouvelle approche pourrait éventuellement être utilisée dans le but d'établir des formules en types exceptionnels.Dans les variétés de drapeaux de dimension finie, on trouve aussi une majoration des coefficients de Littlewood-Richardson et on la généralise, en tout type, pour des classes particulières qu'on appellera ''petites classes de Schubert''.

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