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Andreev’s theorem on hyperbolic polyhedra

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Andreev's Theorem on hyperbolic polyhedra AN N A L E S D E L’INSTI T U T F O U R IE R ANNALES DE L’INSTITUT FOURIER Roland K.W. ROEDER, John H. HUBBARD &William D. DUNBAR Andreev’s Theorem on hyperbolic polyhedra Tome 57, no 3 (2007), p. 825-882. <> © Association des Annales de l’institut Fourier, 2007, tous droits réservés. L’accès aux articles de la revue « Annales de l’institut Fourier » (, implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation ( Toute re- production en tout ou partie cet article sous quelque forme que ce soit pour tout usage autre que l’utilisation à fin strictement per- sonnelle du copiste est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. cedram Article mis en ligne dans le cadre du Centre de diffusion des revues académiques de mathématiques Ann. Inst. Fourier, Grenoble 57, 3 (2007) 825-882 ANDREEV’S THEOREM ON HYPERBOLIC POLYHEDRA by Roland K.W. ROEDER, John H. HUBBARD & William D. DUNBAR (*) A la mémoire d’Adrien Douady, qui a tant inspiré les auteurs. Abstract. — In 1970, E.M. Andreev published a classification of all three- dimensional compact hyperbolic polyhedra (other than tetrahedra) having non- obtuse dihedral angles. Given a combinatorial description of a polyhedron, C, An- dreev’s Theorem provides five classes of linear inequalities, depending on C, for the dihedral angles, which are necessary and sufficient conditions for the existence of a hyperbolic polyhedron realizing C with the assigned dihedral angles. Andreev’s Theorem also shows that the resulting polyhedron is unique, up to hyperbolic isometry. Andreev’s Theorem is both an interesting statement about the geometry of hyperbolic 3-dimensional space, as well as a fundamental tool used in the proof for Thurston’s Hyperbolization Theorem for

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