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Question d'examen, problème IV

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  • Mathematics

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Question d'examen, problème IV NOUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES LÉONBENOIT Question d’examen, problème IV Nouvelles annales de mathématiques 1re série, tome 9 (1850), p. 145-146. <http://www.numdam.org/item?id=NAM_1850_1_9__145_0> © Nouvelles annales de mathématiques, 1850, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Nouvelles annales de mathématiques » implique l’accord avec les condi- tions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal. php). Toute utilisation commerciale ou impression sys- tématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la pré- sente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ ( ' 4 5 ) QUESTION D'EXAMEN, PROBLÈME IV (Arithmétique de M. Bertrand, p. 226); PAR M. LÉON BENOIT, Élève au lycée de Reims. 1. Lemme. a et b étant premiers entre eux et irra- tionnels quadratiques, sJa-\- sjb est irrationnel. Démonstration. Si cette somme est rationnelle, le carré de cette somme est aussi rationnel 5 done ^ab est rationnel, ce qui est impossible. 2. Lemme. a^b^c n'ayant pas de facteurs communs et étant irrationnels quadratiques, sja -+- V b -h y c est irrationnel. Démonstration: Si cette somme est rationnelle, le carré est aussi rationnel ; donc \fa~b -f- sjac -+- sjbc = r, où r est une quantité rationnelle. Élevant au carré, on trouve a sfbc -h b sjac -+- c sjab = 5, où s est encore une quan- ti té rationnelle, Éliminant un des radicaux, on trouve la somme de deux radicaux égale à une quantité rationnelle, ce qui est contraire au lemme précédent5 donc, etc. 3. THÉORÈME. V2? \/5> sl'J ne peuvent faire partie d'une même progression, soit par différence, soit par quotient. Démonstration.—Pardifférence. r étantla raison, on a où ~ est une quantité rationnelle. Multipliant la fraction à Ann. de Mathémat., t. JX. (Avril i85o.) 1O ( '46 ) gauche, haut et bas, par ^5 H- V^, i

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