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Existence globale pour les systèmes de Maxwell-Bloch

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Disciplines
  • Mathematics
  • Physics

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Existence globale pour les systèmes de Maxwell-Bloch S E M I N A I R E Equations aux D e´ r i v e´ e s Pa r t i e l l e s 2002-2003 Éric Dumas Existence globale pour les systèmes de Maxwell-Bloch Séminaire É. D. P. (2002-2003), Exposé no VI, 14 p. <http://sedp.cedram.org/item?id=SEDP_2002-2003____A6_0> U.M.R. 7640 du C.N.R.S. F-91128 PALAISEAU CEDEX Fax : 33 (0)1 69 33 49 49 Tél : 33 (0)1 69 33 49 99 cedram Article mis en ligne dans le cadre du Centre de diffusion des revues académiques de mathématiques http://www.cedram.org/ Existence globale pour les syste`mes de Maxwell-Bloch E´ric Dumas Les e´quations de Maxwell-Bloch mode´lisent la propagation d’une onde e´lectromagne´tique (champ e´lectrique E, champ magne´tique H) dans un mi- lieu mate´riel de´crit par N niveaux quantiques graˆce a` la matrice densite´ ρ [10] : (1)   µ∂tH + rotE = 0, ε∂tE − rotH = −∂tP, i∂tρ = [Ω− E · Γ, ρ]. Les variables d’espace-temps sont (t, x) ∈ R1+3, les champs E et H sont a` valeurs dans R3. Les constantes µ et ε, strictement positives, sont respecti- vement la perme´abilite´ magne´tique et la permittivite´ e´lectrique. Le couplage s’effectue via la polarisation P du milieu, champ a` valeurs dans R3 donne´ par la loi constitutive : P = Tr (Γρ), ou` Γ, l’ope´rateur moment dipolaire e´lectrique, est donne´ par le mate´riau, et est une matrice N × N hermitienne, a` valeurs dans C3. La matrice Ω, de taille N ×N , hermitienne, a` valeurs dans C, repre´sente le hamiltonien libre du syste`me mate´riel (en l’absence de champ e´lectromagne´tique). La matrice densite´ ρ est hermitienne et positive, de taille N × N , a` valeurs dans C. Dans la base des e´tats propres du syste`me, son nie`me terme diagonal est la proportion d’e´tats quantiques situe´s dans le nie`me niveau d’e´nergie (ainsi, ρnn ≥ 0, et ∑ n ρnn = 1 dans le mate´riau), et le terme extra-diagonal ρjk est lie´ a` la probabilite´ de transition du niveau j vers le niveau k. Enfin, il faut rajouter a` ces e´qua

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