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Revêtements de courbes algébriques

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  • Mathematics

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Revêtements de courbes algébriques SÉMINAIRE N. BOURBAKI JEAN-PIERRE SERRE Revêtements de courbes algébriques Séminaire N. Bourbaki, 1991-1992, exp. no 749, p. 167-182. <http://www.numdam.org/item?id=SB_1991-1992__34__167_0> © Association des collaborateurs de Nicolas Bourbaki, 1991-1992, tous droits réservés. L’accès aux archives du séminaire Bourbaki (http://www.bourbaki. ens.fr/) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisa- tion (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commer- ciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ 167 REVÊTEMENTS DE COURBES ALGÉBRIQUES par Jean-Pierre SERRE Séminaire BOURBAKI 44ème année, 1991/92, n° 749 Novembre 1991 1. INTRODUCTION 1.1. Le problème Soit k un corps algébriquement clos. Soit C une courbe algébrique sur k, supposée irréductible et lisse. On a : où C est une courbe projective lisse, et S un sous-ensemble fini de C(k). Quels sont les revêtements galoisiens (non ramifiés) de C ? On peut préciser cette question de deux façons : (a) On se donne un groupe fini G. On demande à quelle condition il existe un revêtement galoisien connexe C’ - C de groupe G. (b) Soit 1re = x) le groupe fondamental (algébrique) de la courbe C relativement à un point-base x. Ce groupe est un groupe profini. On demande de déterminer sa structure. Remarque.- 1) Noter que (b) est plus précis que (a) : un groupe fini G satisfait à la condition (a) si et seulement si G est isomorphe à un quotient de 1re. 2) Lorsque l’on remplace le corps de base k par une extension algébrique- ment close k’, le groupe 7rc ne change pas, si la caractéristique est 0. Il n’est va plus de même en caractéristique p > 0 : il existe des familles non S. M. F. Astérisque 206 (1992) J.-P. SERRE constantes

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