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Sur les sommes riemanniennes

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Disciplines
  • Mathematics

Abstract

Sur les sommes riemanniennes COMPOSITIO MATHEMATICA J. MARCINKIEWICZ R. SALEM Sur les sommes riemanniennes Compositio Mathematica, tome 7 (1940), p. 376-389. <http://www.numdam.org/item?id=CM_1940__7__376_0> © Foundation Compositio Mathematica, 1940, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Compositio Mathematica » (http: //http://www.compositio.nl/) implique l’accord avec les conditions gé- nérales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisa- tion commerciale ou impression systématique est constitutive d’une in- fraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte- nir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Sur les sommes riemanniennes par J. Marcinkiewicz et R. Salem Paris 1. Soit f (x ) une fonction sommable et de période 1, et soit: M. B. Jessen a démontré que la suite {F nx (0153)} converge presque partout vers l.’intégrale dès que la suite {nu} est telle que pour tout x, nu soit un diviseur de nx+l’ 1 ) M. Jessen a considéré la fonction et a démontré que l’ensemble E dans lequel F (x) &#x3E; A est tel que De cette inégalité fondamentale, M. Jessen a déduit que pour tout p &#x3E; 1 on a, si fP est sommable, Le but de cette note est de compléter, sur certains points, les résultats de M. Jessen. Remarquons d’abord que l’inégalité (1.1) conduit également à la démonstration des inégalités: 1) B. Jessen [Annals of Math. 35 (1934), 248-251]. 377 A, B, C, étant des constantes absolues. Nous ne donnerons pas les démonstrations qui sont basées sur les mêmes principes que la démonstration de l’inégalité (1.2). Par contre, nous démontrerons le THÉORÈME 1. Pour to.ute fonction w(0153) positive, croissante et telle que on peut construire une fonction f(x) telle que l’on ait où l’on a posé Il est connu, d’autre part 2), qu’on peut trouver des fonctions sommables f (x ) telles que lim sup F

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