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Condition de réalité des racines de l'équation complète du troisième degré

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  • Mathematics

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Condition de réalité des racines de l'équation complète du troisième degré NOUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES TARNIER Condition de réalité des racines de l’équation complète du troisième degré Nouvelles annales de mathématiques 1re série, tome 3 (1844), p. 161-165. <http://www.numdam.org/item?id=NAM_1844_1_3__161_1> © Nouvelles annales de mathématiques, 1844, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Nouvelles annales de mathématiques » implique l’accord avec les condi- tions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal. php). Toute utilisation commerciale ou impression sys- tématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la pré- sente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ CONDITION BE KÊAIATÊ des racines de l'équation complète du troisième degré, PAR M. TARNIER, professeur. Problème. Chercher la relation des coefficients de l'équa- tion a:3 +px* + qx + r=. 0, pour que ses trois racines soient réelles. Solution, En faisant usage du théorème de M. Sturm, on obtient les polynômes suivants : (t) X= (2) X' = (3) X" == (2/I1 ~ tq)x + {pq — 9r) (4) X ' " = p p V q A N N . D E M4THÉÎK I I I . 1 2 — 162 — Pour que toutes les racines soient réelles, il faut et i! suffit qu'en attribuant à x des valeurs très-grandes néga- tives, ces quatre polynômes ne présentent que des variations (corollaire du théorème de M. Sturm). Or le premier sera négatif et le second positif, il est donc nécessaire et suffisant que le troisième soit négatif et le quatrième positif, c'est-à- dire que Ton ait ainsi que — kpzr H- p*q*— bqz+ i8pqr— 27>a > 0 j ou bien .! S4?3 + 18pqr — 2~ Telles sont les conditions cherchées. Discussion. Pour savoir si le calcul que Ton vient de faire ne peut pas se simplifier, et par suite si les conditions ci- dessus ne peuvent pas êlre exprimées plus simplement, fai- sons dispa

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