Anneau de Cox de variétés avec action de groupe

L'anneau de Cox d'une variété algébrique (satisfaisant des conditions naturelles) est un invariant très riche. Il est introduit par Cox en 1995 pour l'étude des variétés toriques, puis généralisé aux variétés normales par Arzhantsev, Berchtold et Hausen. Plus tard, Hu et Keel découvrent que les variétés normales dont l'anneau de Cox est de type fini définissent une classe de variétés dont la géométrie birationnelle est particulièrement bien comprise. Ils les nomment les Mori Dream Spaces (MDS), du fait de leur bon comportement vis-à-vis du programme de Mori. Un premier problème est alors de trouver des conditions naturelles pour qu'une variété normale soit un MDS. Un second est de décrire l'anneau de Cox d'un MDS donné: trouver une présentation par générateurs et relations, donner la nature de ses singularités, etc...Parmi les variétés algébriques munies d'une action d'un groupe algébrique (affine), une classe particulièrement bien comprise est constituée des variétés normales de complexité au plus un : un groupe réductif connexe agit de telle sorte que la codimension minimale d'une orbite d'un sous-groupe de Borel est au plus un. Le variétés normales de complexité zéro sont dites sphériques (par exemple une variété torique est sphérique). En 2007, Brion montre que les variétés sphériques sont des MDS et donne une description par générateurs et relations de leur anneau de Cox. Une variété normale de complexité un est un MDS si et seulement si c'est une variété rationnelle (par exemple une surface normale rationnelle sur laquelle le groupe multiplicatif agit effectivement, ou encore une variété normale de dimension trois sur laquelle SL2 agit avec une orbite dense). Cela définit une classe naturelle de MDS avec action de groupe pour laquelle le second problème n'a été étudié que dans des cas très particuliers.Dans cette thèse, on commence par définir l'anneau de Cox équivariant d'une variété normale munie d'une action d'un groupe algébrique. Puis, on étudie ses propriétés générales et on le relie à l'anneau de Cox ordinaire. On s'appuie alors sur ce travail préliminaire pour étudier différents aspects de l'anneau de Cox d'une variété normale rationnelle de complexité un. On obtient en particulier un résultat de finitude pour l'itération des anneaux de Cox, ainsi qu'une caractérisation de la log terminalité des singularités. On étudie en détail une classe d'exemples: les anneaux de Cox de variétés de dimension trois presque homogènes sous SL2 (c.à.d. normales et admettant une orbite dense). Prolongeant les résultat obtenus sur ces exemples, on donne une présentation par générateurs et relations de l'anneau de Cox d'une variété presque homogène de complexité un. Pour obtenir ce dernier résultat, on introduit et étudie une classe intéressante de complétions équivariantes de certains espaces homogènes de complexité un.