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Sur le problème de la sphère tangente à quatre plans donnés

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Disciplines
  • Mathematics

Abstract

Sur le problème de la sphère tangente à quatre plans donnés NOUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES E. CATALAN Sur le problème de la sphère tangente à quatre plans donnés Nouvelles annales de mathématiques 1re série, tome 9 (1850), p. 352-361. <http://www.numdam.org/item?id=NAM_1850_1_9__352_1> © Nouvelles annales de mathématiques, 1850, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Nouvelles annales de mathématiques » implique l’accord avec les condi- tions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal. php). Toute utilisation commerciale ou impression sys- tématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la pré- sente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ SUR LE PROBLEME DE LA SPHÈRE TANGENTE A QUATRE PLANS DONNÉS; PAR E. CATALAN. ^Extrait de la Geometrie descriptive de Laiïemoirc, 2e édition; 1849.) 1. Si Ton suppose que les quatre plans qui composent les faces d'un tétraèdre soient indéfiniment prolongés, on pourra se proposer de chercher toutes les sphères qui touchent à la fois ces quatre plans. { 353 ) Afin de déterminer, en premier lieu, quel peut être le nombre de ces sphères, observons que le plan de la base ABC du tétraèdre, prolongé indéfiniment, forme, avec les trois autres faces, six angles dièdres dont trois sont intérieurs, et dont les trois autres sont extérieurs. Pour qu'un point soitégalement distant des quatre faces du tétraèdre, il faut qu'il soit situé sur trois des plans bissecteurs de ces six angles dièdres. Si donc P, Q, R sont les plans bissecteurs des angles intérieurs, et que P', Q', R' soient les plans bissecteurs des angles extérieurs, il y aura autant de sphères satisfaisant à la question, qu'il y aura de points déterminés par les combinaisons suivantes des plans bissecteurs : P, Q, R, • P, Q, R', P, Q', R', P', Q', R'. Q, R, P', Q, R', P', R, P, Q', R, P', Q'.

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