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Sharp $L\ ; {\rm log}^\alpha L$ inequalities for conjugate functions

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  • Mathematics

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Sharp LlogL inequalities for conjugate functions AN N A L E S D E L’INSTI T U T F O U R IE R ANNALES DE L’INSTITUT FOURIER Matts ESSÉN, Daniel F. SHEA & Charles S. STANTON Sharp L logαL inequalities for conjugate functions Tome 52, no 2 (2002), p. 623-659. <http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2002__52_2_623_0> © Association des Annales de l’institut Fourier, 2002, tous droits réservés. L’accès aux articles de la revue « Annales de l’institut Fourier » (http://aif.cedram.org/), implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://aif.cedram.org/legal/). Toute re- production en tout ou partie cet article sous quelque forme que ce soit pour tout usage autre que l’utilisation à fin strictement per- sonnelle du copiste est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. cedram Article mis en ligne dans le cadre du Centre de diffusion des revues académiques de mathématiques http://www.cedram.org/ 623 SHARP L log03B1 L INEQUALITIES FOR CONJUGATE FUNCTIONS by M. ESSÉN, D.F. SHEA &#x26; C.S. STANTON 1. Introduction. Suppose f is a real-valued harmonic function on the unit disc D C C such that 1 e~.~ .... 1 /~ , Let / be the harmonic conjugate of f, normalized so that /(0) = 0, and F = f + i f . Then, by a famous theorem of M. Riesz [19], if 1 p oo, S. K. Pichorides [18] determined the sharp constants cp in (1.1) : cp = tan ’ for 1 p 2 and cp = cot £ for p &#x3E; 2. In the same paper, Pichorides proved that for any A &#x3E; 2/7r there exists a B depending only on A such that giving the best constant in a theorem originally due to Zygmund [22]. The sharp constants in (1.2) are (cf. Ess6n [6], Verbitsky [21] ) Cp = sec(7r/2p) Keywords: Conjugate functions - Norm estimates - Minimal thinness. Math. classification: 42A50 - 30D55 - 31A15. 624 The class L log L is defined to be those functions harmonic on the unit disc such that We will als

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