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Komplemente als direkte Summanden II

Authors
Publication Date
Keywords
  • Mathematik
  • Informatik Und Statistik
  • Ddc:510

Abstract

Komplemente als direkte Summanden II Arch. Math., Vol. 38, 324--334 (1982) 0003-889X/82/3804-0011 $ 01.50-}- 0.20/0 �9 1982 Birkhiiuser Verlag, Basel Komplemente als direkte Summanden II Von HELI~IUT ZSSCttlNGER Einleitung. Ist M ein R-Modul und U ein Untermodul yon M, so heil3t jedes minimale Element V0 in der Menge { F C M ] V ~- U =- M} ein Komplement yon U in M. Falls zus~tzlich V0 (~ U direkter Summand in U ist, heiBt V0 ein starkes Komplement yon U in M. Besitzt jeder Untermodul yon M ein (starkes) Kom- plement in M, so heiBt M (stark) komplementiert. J. Hausen zeigt nun in [4], dab es in einer komplementierten abelschen p-Gruppe M zu jeder Untergruppe U sogar eine Zerlegung V0 O W ---- M gibt, so dal~ U und W dieselben Summanden in M haben (d. h. genau dann X ~- U = Mis t , wenn X + W ---- M ist). Ein solches V0 bezeiehnen wir, in beliebigen Moduln, als H-KompIement yon U in M, und besitzt jeder Untermodul yon M ein H-Komplement, so heiSe M H-komplementiert. Das Studium solcher H-Komplemente, insbesondere ihr Zusammenhang mit den starken Komplementen in [7], ist Gegenstand dieses Teils II. Jedes starke Komplement V0 ist ein H-Komplement, denn in ( Fon U) (~ W :- U hat W die verlangte Eigensehaft, und jedes H-Komplement ist ein Komplement im einfachen Sinne. Die drei Begriffe sind aber verschieden, denn tiber einem kom- mutativen lokalen Ring (R, m) ist jeder endlieh erzeugte R-Modul M komplemen- tiert, w~hrend wir im dritten ParagTaphen zeigen: (3.2) Genau dann ist M H-komptementiert, wenn es Ideale al c a2 c.-. c an =c R gibt mit M ~--- R/al • "" • R/an. i " " (3.3) Genau dann ist M stark komplementiert, wenn M eine ,,kanon scne Zerlegung wie eben hat und zus~tzlich m an c al ist. •ber einem diskreten Bewertungsring R wurde die Struktur der stark komplemen- tierten R-Moduln in [7] vollst~ndig bestimmt. Ein komplementierter R-Modul M braucht aber, im Unterschied zu den abelschen p-Gruppen, nicht mehr H-komplemen- tiert zu sein, denn w

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