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Dynamiques génériques : hyperbolicité et transitivité

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  • Mathematics

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Dynamiques génériques : hyperbolicité et transitivité SÉMINAIRE N. BOURBAKI CHRISTIANBONATTI Dynamiques génériques : hyperbolicité et transitivité Séminaire N. Bourbaki, 2001-2002, exp. no 904, p. 225-242. <http://www.numdam.org/item?id=SB_2001-2002__44__225_0> © Association des collaborateurs de Nicolas Bourbaki, 2001-2002, tous droits réservés. L’accès aux archives du séminaire Bourbaki (http://www.bourbaki. ens.fr/) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisa- tion (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commer- ciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ DYNAMIQUES GÉNÉRIQUES : HYPERBOLICITÉ ET TRANSITIVITÉ par Christian BONATTI Séminaire BOURBAKI 54e année, 2001-2002, n° 904, p. 225 à 242 Juin 2002 INTRODUCTION Pour structurer la dynamique globale d’un difféomorphisme f d’une variété com- pacte M, on cherche à caractériser les parties de M qui sont « indécomposables » pour f. La notion la plus naturelle d’indécomposabilité est sans doute la notion d’ensemble minimal : un compact K invariant par f est dit minimal s’il est mini- mal pour l’inclusion parmi les compacts invariants, ce qui se caractérise par le fait que toute orbite d’un point de K est dense dans K. Le Théorème de Zorn entraîne que toute orbite contient un minimal dans son adhérence. En fait, il y a en général trop de minimaux pour structurer la dynamique : le classique « Fer à Cheval » de Smale contient un ensemble non dénombrable de ces minimaux. Ensembles transitifs maximaux Une notion moins restrictive d’indécomposabilité est la transitivité. Un ensemble compact K invariant par f est dit transitif s’il vérifie l’une des conditions équivalentes suivantes : - il existe un point x de K dont l’orbite 0~ est dense dans K ; - pour tou

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