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Monodromy of hypergeometric functions and non-lattice integral monodromy

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Jahrbuch Database – Electronic Research Archive for Mathematics c© 2014 European Mathematical Society JFM 19.0429.01 Picard, E. Sur les fonctions hyperfuchsiennes provenant des se´ries hyperge´ome´triques de deux variables. (French) S. M. F. Bull. XV. 148-152. Published: (1887) Die Integrale ∫ h g ub1−1(u− 1)b2−1(u− x)µ−1(u− y)λ−1du, wo g und h zwei der Gro¨ssen 0, 1, x, y,∞ bedeuten, genu¨gen einem System von drei linearen partiellen Differentialgleichungen, welche drei gemeinsame linear unabha¨ngige Lo¨sungen besitzen. Sind diese w1, w2, w3, so geben die Gleichungen w1 w3 = u(x, y) = z, w2 w3 = v(x, y) = t fu¨r x und y eindeutige Functionen von z und t, wenn λ + b1 − 1 und 2 − λ − b1 − b2 und die analogen Ausdru¨cke die reciproken Werte ganzer Zahlen sind. (Picard, Ann, de l’E´c. Norm. 1885, s. F. d. M. XVII. 412, JFM 17.0412.01). Fu¨r dieses allgemeine Theorem werden einige specielle Beispiele angegeben und auch der bereits C. R. CIV. 896 erwa¨hnte Fall eingehend behandelt, wobei sich ergiebt, dass die Umkehrung der Functionen u(x, y) = z, v(x, y) = t, entgegen der Bemerkung von Goursat (C. R. CIV. 893-896), durch θ-Functionen einer Variabeln geleistet wird. v. Braunmu¨hl, Prof. (Mu¨nchen) Keywords: Generalized hypergeometric functions; theta functions Classification : ∗33C60 Hypergeometric integrals and functions defined by them Cited in ... 1

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