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Fonctions $\varTheta(x)$ de Jacobi et $\wp(u)$ de Weierstrass

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  • Mathematics

Abstract

Fonctions (x) de Jacobi et (u) de Weierstrass BULLETIN DE LA S. M. F. A. PELLET FonctionsΘ(x) de Jacobi et℘(u) deWeierstrass Bulletin de la S. M. F., tome 50 (1922), p. 62-73. <http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1922__50__62_1> © Bulletin de la S. M. F., 1922, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Bulletin de la S. M. F. » (http://smf. emath.fr/Publications/Bulletin/Presentation.html) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitu- tive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ — 62 FONCTIONS Q(x) DE JACOBI ET P ( /< ) DE WEIERSTRASS- PAR M. A. PELLIÏT. 1. .Te me propose de déduire les propriétés essentielles de la fonction ^(u) de Weierstrass de Fétude de la fonction 6f x) de — 63 — Jacobi, en appliquant la théorie des équations majorantes, que je commencerai par développer. .l'appelle équation majorante d'ordre in de l'équation /(-)=2x) = 7. ^ /^= o. l'équation qui, ordonnée, offre deux variations de signes •>.\,n\^—V{\)^ o, où Aw==|r t , , / | , et F(X) est une fonction majorante de /(^); ainsi F(X)^| / (o7) | s. X=M. Supposons que Inéquation majorante d'ordre m ait deux racines positives, X< et Xa ;> Xi ; et celle d'ordre ?ni également deux racines positives X3 et Xî>>X;{, m^ étant supérieur à m', \^ sera supérieur à Xa. En effet, on aura les deux inégalités i Y///-^ A Y7"! \ V7"! ^ 4 Y Ht •A/n A 2 ^> A//^ A, ', .\w, A;{ ^> ^7/^X3 , d'où, par multiplication, X ///1—///•«<. Y7"!——//73 > A -2 Pour les valeurs de x dont le module est compris entre Xi et Xa, le logarithme de :-^-? l " ^ ' 1 ' 9 est développable suivant les puis- sances positives et négatives de x^ car f(x) f f{x^-a,nx^\ ^^ ==aw(I"1-—a^—)' p . . ,

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