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Sobre la ecuación en derivadas parciales correspondiente a las funciones generatrices

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Publisher
Universitat de Barcelona
Publication Date

Abstract

En un trabajo nuestro (1), hemos estudiado las relaciones de recurrencia que ligan los coeficientes $P_{n, k} (x)$ del desarrollo en serie$\sum_{n=0}^{\infty}P_{nk}(x)z^n$ de la familia de funciones $U^{-}_{k}=[S(x,z)]^-\frac{1}{k}$, y más en particular las que afectan al caso concreto $u_{k, q}=[1-x^{q} + (x-z)]^{-\frac{1}{k}}$ (*). En el actual trabajo demostramos que la existencia de una relación diferencial de la forma $\sum_{i=0}^s\delta_{i}(x)[P^{q}_{n, k}]^{(i)}=0$ entre las coeficientes $\sum_{\omega=0}\sum_{r=0}^\omega A_{\omega r} z^{r}\frac{\delta^\omega u}{\delta x^{\omega-r}dz^r}=0$ cuya existencia a su vez, queda asegurada, si tomamos para cada entero y positivo $q=q^-$, un índice $s=s^-$, igual al mínimo valor entero y positivo que verifique la inecuación: $(s-1(s-q)-\left(\begin{matrix}s-2\\2\end {matrix}\right)+3-q)>0$

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