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Holomorphie discrète et modèle d'Ising

Authors
Publisher
Université Louis Pasteur - Strasbourg I
Publication Date
Keywords
  • [Math] Mathematics
  • [Math] Mathématiques
  • [Phys:Phys:Phys_Data-An] Physics/Physics/Data Analysis
  • Statistics And Probability
  • [Phys:Phys:Phys_Data-An] Physique/Physique/Analyse De Données
  • Statistiques Et Probabilités
  • Holomorphie Discrète
  • Modèle D'Ising
  • Décomposition Cellulaire
  • Dimension Deux
  • Systèmes Statistiques Intégrables
  • Application Conforme
  • Dualité
  • équation De Cauchy-Riemann
  • Blocs Conformes
Disciplines
  • Mathematics
  • Physics

Abstract

Ma thèse généralise la notion de criticité pour le modèle d'Ising en dimension 2. J'y définis une nouvelle notion d'holomorphie discrète sur une décomposition cellulaire d'une surface de Riemann. Le modèle d'Ising converge, à la limite thermodynamique vers une théorie conforme continue, quand la limite est prise sur un réseau (carré, triangulaire), près de la température critique. J'étends cette criticité à des décompositions cellulaires générales et je décompose le spineur en parties holomorphes et antiholomorphes discrètes, analogues discrets des blocs conformes. On définit une équation de Cauchy-Riemann discrète sur le double d'une décomposition cellulaire. Des théorèmes classiques sont encore transposables: harmonicité, base des différentielles, pôle, théorème des résidus. Il y a des différences, le produit point par point ne préserve pas l'holomorphie, les pôles sont d'ordre un, l'espace des formes holomorphes est de dimension double du genre. On définit une carte comme étant semi-critique si d'une fonction holomorphe discrète $f$ et d'une carte locale plate $Z$ on peut faire une $1$-forme fermée $fdZ$ et critique si $fdZ$ est holomorphe. Cette classe contient les réseaux mais bien plus. Une suite convergente de fonctions holomorphes discrètes sur une suite convergente de cartes critiques a pour limite une fonction holomorphe sur la surface de Riemann. Dans le cas des réseaux triangulaires et carrés, on démontre que la criticité statistique d'Ising équivaut à notre criticité pour une structure conforme reliée aux constantes d'intéraction. On définit une équation de Dirac sans masse, l'existence d'une solution équivaut à la criticité. Le spineur de Dirac permet alors de décomposer le fermion d'Ising en une partie holomorphe et une partie antiholomorphe.

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