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Un exemple de J. Pitman

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  • Mathematics

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Un exemple de J. Pitman SÉMINAIRE DE PROBABILITÉS (STRASBOURG) MARC YOR Un exemple de J. Pitman Séminaire de probabilités (Strasbourg), tome 13 (1979), p. 624-624. <http://www.numdam.org/item?id=SPS_1979__13__624_0> © Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1979, tous droits réservés. L’accès aux archives du séminaire de probabilités (Strasbourg) (http://www-irma. u-strasbg.fr/irma/semproba/index.shtml), implique l’accord avec les conditions gé- nérales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commer- ciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ UN EXEMPLE DE J. PITMAN par M. Yor Université de Strasbourg Séminaire de Probabilités 1977/78 Soit (Xt) un mouvement brownien issu de 0, et soit H l’ensemble de ses zéros. On peut se demander si toutes les martingales de la filtration naturelle de X qui sont nulles sur H sont de la forme KT Xt , où K est un processus prévisible, et Tt est le dernier zéro avant t t ( voir dans ce volume les articles sur le balayage ). Lors de son passage à Paris en Juin 1978, Pitman nous a montré un exemple d’une intégrale stochastique Yt=/ h dX , où h n’est pas constante sur les intervalles contigus à H, qui a les mêmes zéros que X. Voici cet exemple. Nous posons T = inf~t : 1 U = inf{t>T : Xt=1 /2 { D = inf { t>T : 1 de sorte que D’autre part V = inf { t>T ; X~=3/2j { W ~ UAV Puis nous posons hs = 1~C~W~(s) + 1~W_U}1~W~~ [(s) + Ce processus est prévisible. Si W=U, i.e. si UV , on a h (w)=1 et la trajectoire de Y=/.h dX est égale à celle de X. Si WU , ,.i.e. si la tra- jectoire w monte en 3/2 avant de redescendre en 1/2, la trajectoire de Y vaut Xt pour 3/2 pour 3X pour t>U Dans les deux cas, elle a les mêmes zéros que la trajectoire de X. Sur le dessin suivant, la traje

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