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Sur la possibilité de représenter une fonction par une série trigonométrique

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  • Mathematics

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Sur la possibilité de représenter une fonction par une série trigonométrique BULLETIN DES SCIENCES MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES B. RIEMANN Sur la possibilité de représenter une fonction par une série trigonométrique Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques, tome 5 (1873), p. 79-96. <http://www.numdam.org/item?id=BSMA_1873__5__79_1> © Gauthier-Villars, 1873, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Bulletin des sciences mathéma- tiques et astronomiques » implique l’accord avec les conditions gé- nérales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infrac- tion pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ SUR LA POSSIBILITÉ DE REPRÉSENTER «RE FONCTION PAR UNE SÉRIE TRIGONOMÉTRIQÜE ; PAR B. RIEMANN. (Suite.) §9. A l'aide de ces trois théorèmes, on peut énoncer les propositions suivantes sur la possibilité de représenter une fonction par une série trigonométrique dont les termes finissent par devenir infini- ment petits pour toute valeur de l'argument. I. Pour qu'une fonction périodique, ayant arc pour période, puisse être représentée par une série trigonométrique dont les termes finissent par devenir infiniment petits pour toute valeur de #, il faut qu'il existe une fonction continue F (a?), dont f (x) dé- pende de telle manière que l'expression F(g + a-4-(3) — F(a?-t-g — (3) — F(g — a 4-(3) + F(.r — a— (3) où a et j3 sont des infiniment petits dont le rapport est fini, con- verge vers ƒ (a:). (T ) Voir Corrispondenza scientifica in Roma per Vavanzamento délie Scienze. T. IV, i856. (In-4°, 2 p.) 8o BULLETIN DES SCIENCES II faut, de plu3, que l'intégrale r ,/x2 i F(#)cos/x(# — a)l{x)dx, Jb lorsque l[x) et W(x) sont nuls aux limites è, c, et demeurent finis entre ces limites, et

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