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Li coefficients for automorphic $L$-functions

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Li coefficients for automorphic L-functions AN N A L E S D E L’INSTI T U T F O U R IE R ANNALES DE L’INSTITUT FOURIER Jeffrey C. LAGARIAS Li coefficients for automorphic L-functions Tome 57, no 5 (2007), p. 1689-1740. <http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2007__57_5_1689_0> © Association des Annales de l’institut Fourier, 2007, tous droits réservés. L’accès aux articles de la revue « Annales de l’institut Fourier » (http://aif.cedram.org/), implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://aif.cedram.org/legal/). Toute re- production en tout ou partie cet article sous quelque forme que ce soit pour tout usage autre que l’utilisation à fin strictement per- sonnelle du copiste est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. cedram Article mis en ligne dans le cadre du Centre de diffusion des revues académiques de mathématiques http://www.cedram.org/ Ann. Inst. Fourier, Grenoble 57, 5 (2007) 1689-1740 LI COEFFICIENTS FOR AUTOMORPHIC L-FUNCTIONS by Jeffrey C. LAGARIAS Abstract. — Xian-Jin Li gave a criterion for the Riemann hypothesis in terms of the positivity of a set of coefficients λn (n = 1, 2, . . .). We define similar coeffi- cients λn(pi) associated to principal automorphic L-functions L(s, pi) over GL(N). We relate these cofficients to values of Weil’s quadratic functional associated to the representation pi on a suitable set of test functions. The positivity of the real parts of these coefficients is a necessary and sufficient condition for the Riemann hypothesis for L(s, pi). Assuming the Riemann hypothesis for L(s, pi), we show that λn(pi) = N 2 n logn+C1(pi)n+O( √ n logn), where C1(pi) is a real-valued constant. We construct an entire function Fpi(z) of exponential type that interpolates the generalized Li coefficients at integer values. Assuming the Riemann hypothesis for L(s, pi), this function on the real axis has a Fourier tra

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