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A new proof of multisummability of formal solutions of non linear meromorphic differential equations

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Jahrbuch Database – Electronic Research Archive for Mathematics c© 2014 European Mathematical Society JFM 66.0397.02 Hukuhara, M. Inte´gration formelle d’un syste`me d’e´quations diffe´rentielles non line´aires dans le voisinage d’un point singulier. (French) Ann. Mat. pura appl., Bologna (4) 19, 35-44. Published: 1940 Es wird das System formaler Differentialgleichungen betrachtet xσ+1 dyj dx = Pj(x, y1, . . . , yn) (j = 1, 2, . . . , n; Pj formale Potenzreihen ohne von den yj freie Glieder; σ = 0, ganz). Durch geeignete Transformation der Vera¨nderlichen wird es schrittweise vereinfacht; und zwar setzt sich der Prozeß zusammen aus 1) linearen Transformationen yj = n∑ k=1 Pjk(ξ) zk mit ξ = x 1 k ; Pjk gewo¨hnliche Potenzreihen; 2) einer Transformation zj = ξσ ′+1uj 3) abza¨hlbar vielen Transformationen uj = vj +Qj(v1, . . . , vn) wo Qj ein homogenes Polynom vom Grade N mit formalen Potenzreihen in ξ als Ko- effizienten bedeutet (bei jedem Schritte 3) bleiben offenbar die Beiwerte der Potenz- produkte geringerer als N -ter Dimension unvera¨ndert!). Mit einer passend bestimmten natu¨rlichen Zahl m la¨ßt sich eine Normalform herstellen, deren erste m Gleichungen fu¨r vj = 0 (j 5 m) erfu¨llt sind, wa¨hrend die u¨brigen ein lineares System stufenfo¨rmigen Baus fu¨r die vj(j = m + 1) bilden, das daher schrittweise durch Quadratur behan- delt werden kann. Die Lo¨sung dieses Systems entha¨lt n −m willku¨rliche Integrations- konstanten ganz-rational; bei Ru¨cktransformation und Umrechnung erha¨lt man Potenz- reihen nach diesen, und damit Anschluß an die Entwicklungen von Trjitzinsky (Me´m. Sci. math. 90 (1938); F. d. M. 64II, 1132). Schmidt, Hermann; Prof. (Jena) Cited in ... 1

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