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Sur la mesure de Hausdorff de la courbe brownienne

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  • Mathematics

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Sur la mesure de Hausdorff de la courbe brownienne SÉMINAIRE DE PROBABILITÉS (STRASBOURG) JEAN-FRANÇOIS LE GALL Sur la mesure de Hausdorff de la courbe brownienne Séminaire de probabilités (Strasbourg), tome 19 (1985), p. 297-313. <http://www.numdam.org/item?id=SPS_1985__19__297_0> © Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1985, tous droits réservés. L’accès aux archives du séminaire de probabilités (Strasbourg) (http://www-irma. u-strasbg.fr/irma/semproba/index.shtml), implique l’accord avec les conditions gé- nérales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commer- ciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ SUR LA MESURE DE HAUSDORFF DE LA COURBE BROWNIENNE J.F. LE GALL 0. Introduction. Soit B un mouvement brownien à valeurs dans l’espace IRa (d > 2), issu de 0. On note r la trajectoire de B entre les instants 0 et 1. De nombreux auteurs ont cherché à déterminer une "bonne" fonction de mesure pour la courbe r, i.e. une fonction h telle que, P p.s. (0-a) 0 oo où h-m désigne la mesure de Hausdorff associée à h. Ciesielski et Taylor [1 ] , pour d > 3, et Taylor [ 10 ] pour d=2 ont obtenu (0-a) avec la fonction h définie par : (0-b) h(a) = a2 log log 1 1 si d > 3 h(a) = 1 ~ a2 log a log log log a si d = 2. La preuve de (0-a) passe par la démonstration de théorèmes limites pour les temps d’occupation. On note pour tout a > 0 : - (0-c) ~0 1(|BS|a)ds si d > 3, V(a) = T 1 si d = 2, où T~ = inf {s ; ; ~Bs~ - 1}. Ciesielski et Taylor, pour d > 3, et Ray, pour d=2, ont montré l’exis- tence d’une constante Cd strictement positive telle que, h étant toujours dé- finie par (0-b) : ) lim sup V(a) h(a) = C d P p.s. 298 A l’aide de résultats généraux sur les mesures de Hausdorff dûs à

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