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Réalisation de formes $\mathbb{Z}$-bilinéaires symétriques comme formes trace hermitiennes amplifiées

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  • Mathematics

Abstract

Réalisation de formes Z-bilinéaires symétriques comme formes trace hermitiennes amplifiées JOURNAL DE THÉORIE DES NOMBRES DE BORDEAUX GRÉGORYBERHUY Réalisation de formesZ-bilinéaires symétriques comme formes trace hermitiennes amplifiées Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome 12, no 1 (2000), p. 25- 36. <http://www.numdam.org/item?id=JTNB_2000__12_1_25_0> © Université Bordeaux 1, 2000, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux » (http://jtnb.cedram.org/) implique l’accord avec les condi- tions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute uti- lisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte- nir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ 25-3 Réalisation de formes Z-bilinéaires symétriques comme formes trace hermitiennes amplifiées par GRÉGORY BERHUY RÉSUMÉ. Dans cet article, on montre de manière explicite que toute forme Z-bilinéaire symétrique non dégénérée de rang pair, et non Q-isomorphe au plan hyperbolique, se réalise comme forme trace hermitienne amplifiée d’une algèbre Z[03B1], où 03B1 est un en- tier algébrique. Plus précisement, on montre que pour tout S ~ M2n(Z) symétrique, avec detS~ 0 (et detS~-1 (mod Q*2) si n = 1), il existe un entier algébrique 03B1, une involution Q-linéaire 03C3 de Q(03B1), 03BB ~ Q(03B1) 03C3-symétrique et une Z-base v1, ..., v2n d’un idéal de Z[03B1] tels que S = (TrQ(03B1) /Q (03BBviv03C3j)). ABSTRACT. In this paper, we show by an explicit method that every non degenerate symmetric Z-bilinear form of even rank, which is not Q-isomorphic to the hyperbolic plane, can be realized as a hermitian scaled trace form of some algebra Z[03B1], where 03B1 is an algebraic integer. More precisely, we show that for every symmetric matrix S E M2n(Z), with detS #

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