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Indice d'une application linéaire. Théorème de Riesz. Opérateurs compacts dans $L^2$

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  • Mathematics

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Indice d'une application linéaire. Théorème de Riesz. Opérateurs compacts dans L2 Séminaire Choquet. Initiation à l’analyse ERICVAN DEROORD Indice d’une application linéaire. Théorème deRiesz. Opérateurs compacts dans L2 Séminaire Choquet. Initiation à l’analyse, tome 7, no 1 (1967-1968), exp. no A1, p. A 1- A 8. <http://www.numdam.org/item?id=SC_1967-1968__7_1_A2_0> © Séminaire Choquet. Initiation à l’analyse (Secrétariat mathématique, Paris), 1967-1968, tous droits réservés. L’accès aux archives de la collection « Séminaire Choquet. Initiation à l’analyse » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ A1-01 INDICE D’UNE APPLICATION LINÉAIRE. THÉORÈME DE RIES Z. OPÉRATEURS COMPACTS DANS L2 par Eric VAN DER OORD Séminaire CROQUET (Initiation à 1 analyse) 7e année, 1967/68, n° A.l On considère des espaces vectoriels sur le corps Ç des nombres complexes. 1. Inverse relatif d’une a lication linéaire. DEFINITION 1. - On se place dans la catégorie des espaces vectoriels. Soit U : F --~ G une application linéaire. Une application linéaire X : G est un inverse relatif de U si l’on a : PROPOSITION 1. - Avec les notations précédentes, Im(X) est supplémentaire de XU un projecteur P de F sur Im X ~ UX un projecteur Q de G s,ar Im(U) , et la donnée de X équivaut à celle des projecteurs P et Q. De plus, U induit une bijection U X de Im(XU) sur Im U , et X la bijection inverse. t 1° Si U admet un inverse relatif X, on a : 1 donc XU est un projecteur. donc lm XU = Im X . donc Ker XU = Ker U , et de même, la définition étant symétrique en U et X, UX est un projecteur de G sur Im U . 2° Réciproquement, si l’on a

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