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L'addition est-elle infiniment associative ?

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Publication Date
Keywords
  • Series
  • Associativity
  • Physical
  • Chemical
  • Mathematical & Earth Sciences :: Mathematics [G03]
  • Physique
  • Chimie
  • Mathématiques & Sciences De La Terre :: Mathématiques [G03]

Abstract

L’addition est-elle “infiniment” associative ? P. Dupont H.E.C.•Lie`ge 08/10/04 Il est bien connu que l’addition des re´els jouit de la proprie´te´ d’associa- tivite´ : pour tous a, b et c ∈ R, (a+ b) + c = a+ (b+ c). L’associativite´ ge´ne´rale s’en de´duit aise´ment (par induction) : quel que soit le naturel n et quels que soient les re´els a1, a2, . . . , an, tous les parenthe´sages de la somme a1 + a2 + · · ·+ an auront la meˆme valeur. Mais qu’en est-il dans une somme d’une infinite´ de termes, lorsque la somme devient une se´rie ? Les choses ne sont plus si simples, comme nous le verrons. Il est cependant ne´cessaire d’abord de pre´ciser un certain nombre de notions et de notations. Soit (un)n∈N∗ une suite dans R. La se´rie associe´e a` cette suite, ou (de manie`re le´ge`rement impropre) la se´rie de terme ge´ne´ral un, est la nouvelle suite (sn)n∈N∗ de´finie par sn = n∑ k=1 uk. Pour la de´signer, nous utiliserons l’une des notations∑ n∈N∗ un ou u1 + u2 + u3 + · · · , (1) “pour rappeler son mode de construction” ([1, p. 249]). 1 Si lim n→∞ sn = s ∈ R, nous dirons que la se´rie converge et que s est sa somme ; nous noterons alors s = ∞∑ n=1 un. Si lim n→∞ sn = ±∞ ou si limn→∞ sn n’existe pas, nous dirons que la se´rie diverge ; le symbole ∑∞ n=1 un est dans ce cas de´pourvu de sens. Remarquons qu’il est aussi absurde de confondre une se´rie et sa somme que de confondre une suite et sa limite. Voila` pourquoi nous distinguons soigneusement ∑ n∈N∗ un et ∞∑ n=1 un. La question de l’associativite´ de l’“addition infinie” est donc la suivante : est-il permis d’introduire des groupements de termes dans une se´rie ? Par exemple, u1 + (u2 + u3 + u4) + (u5 + u6) + u7 + · · · (2) est-elle convergente si et seulement si (1) l’est, et dans ce cas leurs sommes co¨ıncident-elles ? Il importe de se rendre compte que (2) de´signe en fait une nouvelle se´rie, ∑ n∈N∗ vn, avec v1 = u1, v2 = u2+u3+u4, v3 = u5+u6, etc. . . Pre´cisons que nous ne con

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