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Sur une formule générale d'interpolation

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  • Mathematics

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Sur une formule générale d'interpolation BULLETIN DE LA S. M. F. POTRON Sur une formule générale d’interpolation Bulletin de la S. M. F., tome 34 (1906), p. 52-60. <http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1906__34__52_1> © Bulletin de la S. M. F., 1906, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Bulletin de la S. M. F. » (http://smf. emath.fr/Publications/Bulletin/Presentation.html), implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitu- tive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ 52 — SUR UNE FORMULE GÉNÉRALE D'INTERPOLATION; Par M. POTRO.N. 1. M. Borel a démontré ( * ) le théorème suivant : Soit (fp^(x) (/? et q étant deux nombres entiers et p^q) une fonction égale à o pour o^x^^-——l- et pour p-—'-^.r^i, à qx —p 4- i pour '-—— -^, x ^ ^-» à — q x -\- p -j- i pour f-^x^ t——; soit ^p,q{x) un polynôme tel que l'on ait, entre o et ï , | ^ p,q(^) — ^ ,y(lr) | <^ ~~if sl f^') désigne une fonction définie et continue entre o et i ; ^ / £y est un nombre tel que légalité | x^ — x'i\ << — entraine partout, entre o et i, •TI ) — /(^s) | < £y; ^ <^ toujours^ entre o ec i ^ l ) inégalité \ x^ — x'i\ << — entraine partout, entre o et i, 1/( p=(l /(^)-^/(f)»Y.(^) <^+M^, p==o M étant la limite supérieure de f(x) entre o et i. Je me propose de donner une expression générale des polynômes Pp^(x), 2. Inéquation de la ligne brisée y = fp,q{x) peut, d'après une ( 1 ) Leçons sur les fonctions de variables réelles, Chup. IV, p. 83. — 53 — formule de M. S. Bernstein (1), s'écrire ^ . ^=2^ .r- Ao = ^ [<?p.î(i) -+- ^ ?p,ç (-) — (q — î) ?M(o)J » y r /^-^A /^—^ /^ îAA =^^(^+^(~T-)~2^^^ Ay = ^ [<Pp,ç(o) -4- q^p^ (^-Y- ) — (^ - 0 ?p.9(i)] • En ap

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