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Le problème de Torelli

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  • Mathematics

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Le problème de Torelli SÉMINAIRE N. BOURBAKI ARNAUDBEAUVILLE Le problème de Torelli Séminaire N. Bourbaki, 1985-1986, exp. no 651, p. 7-20. <http://www.numdam.org/item?id=SB_1985-1986__28__7_0> © Association des collaborateurs de Nicolas Bourbaki, 1985-1986, tous droits réservés. L’accès aux archives du séminaire Bourbaki (http://www.bourbaki. ens.fr/) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisa- tion (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commer- ciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ 7 LE PROBLÈME DE TORELLI par Arnaud BEAUVILLE Séminaire BOURBAKI 38ème année, 1985-86, n°651 Novembre 1985 1. Le cadre Soit X une variété kählérienne compacte. Les groupes de cohomologie sont munis d’une de Hodge de poids n , c’est-à-dire d’une décomposition Dans la suite, je ne considérerai que le cas n = dim(X) . Le S-module est alors muni d’une forme bilinéaire Q (définie par le cup-produit), symétrique ou alternée suivant que n est pair ou impair. La structure de Hodge est compati- ble avec Q , ce qui signifie qu’on a ainsi que des conditions de signe sur la forme Q(x,x) pour lesquelles je renvoie à ou [De] . Soit ~I un ensemble de classes d’isomorphisme de variétés kàhlériennes compactes de dimension n , de type topologique fixé. Le problème de Torelli (global) pour Q est la question suivante : soient X, X’ deux variétés de m, telles qu’il existe une isomé- trie (p : - respectant les structures de Hodge (je dirai, plus brièvement, une isométrie de Hodge). Peut-on conclure que X et X’ sont isomorphes ? On peut être plus exigeant, c’est ce que j’appellerai le problème de Torelli (Àn : existe-t-il un isomorphisme u : X’ - X tel que u* = 03C6 ? Suivant les situations, on est amené à envisager diverses varian

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