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Changement du corps de base pour les représentations de $GL(2)$

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  • Mathematics

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Changement du corps de base pour les représentations de GL(2) SÉMINAIRE N. BOURBAKI PAULGÉRARDIN Changement du corps de base pour les représentations deGL(2) Séminaire N. Bourbaki, 1977-1978, exp. no 510, p. 65-88. <http://www.numdam.org/item?id=SB_1977-1978__20__65_0> © Association des collaborateurs de Nicolas Bourbaki, 1977-1978, tous droits réservés. L’accès aux archives du séminaire Bourbaki (http://www.bourbaki. ens.fr/) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisa- tion (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commer- ciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ 65 CHANGEMENT DU CORPS DE BASE POUR LES REPRÉSENTATIONS DE GL(2) [d’après R. P. LANGLANDS, H. SAITO et T. SHINTANI] par Paul GÉRARDIN Séminaire BOURBAKI 30e année, 1977/78, n° 510 Novembre 1977 Soient f (z~ - ~ a zn une forme modulaire parabolique de poids 2 , fonction n~ 1 ~ propre des opérateurs de Hecke, et E un corps quadratique réel. Avec le caractère d’ordre 2 que définit E , on fabrique une nouvelle série de Dirichlet Doi et Naganuma ont montré, à l’aide de résultats de Shimura, que, dans un certain nombre de cas, cette série était associée à une forme modulaire parabolique, de poids 2 , relativement à une algèbre de quaternions sur E , qui est fonction propre des opérateurs de Hecke (~3~, C5J 7.7). Formulé en termes de représentations, ceci a permis d’associer à une représentation admissible automorphe parabolique irréductible n du groupe où A est l’anneau des adèles de Q, une représentation admissible automorphe parabolique irréductible / du groupe où H est le groupe multiplicatif de l’algèbre de quaternions sur E ci- dessus, et ~. IL = à 0 E , les séries L étant reliées par (où x opère via l’isomorphisme du corps de

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