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Poids et racines, II

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  • Mathematics

Abstract

Poids et racines, II Séminaire « Sophus Lie » F. BRUHAT Poids et racines, II Séminaire « Sophus Lie », tome 1 (1954-1955), exp. no 10, p. 1-8. <http://www.numdam.org/item?id=SSL_1954-1955__1__A14_0> © Séminaire « Sophus Lie » (Secrétariat mathématique, Paris), 1954-1955, tous droits réservés. L’accès aux archives de la collection « Séminaire « Sophus Lie » » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ 10-01 Exposé n° 10 POIDS ET RACINES, II F. BRUHAT,(Exposé de F. BRUHAT, le 25.1.55). 1954/55. 1.- Séries de racines. K est toujours un corps algébriquement clos de caractéristique 0 ~ (Xt- une algèbre de Lie semi-simple dont h est une sous-algèbre de Cartan fixée une fois pour toutes. c?( ~ o est une racine fixe dans la suite. Une famille S de racines compo- sée de l’ensemble des racines de la forme 03C6+ k 03B1 (k entier de signe quelcon- que) est appelée une série (ou une ~-série"). En vertu de la formule le sous-espace 03B1=S est invariant par ad g-03B1 et ad . Soit E deux élé ments ~ 0 ; en sup- pose de plus que E~ ,E~~> = - 1 d’où = - [H~ = ~~>E~ t~F~=-~~>E~ . Ceci nous conduit à étudier les représentations d’une algèbre de Lie ’Ot’ ayant une base X,Y,H avec les relations de structure [X,Y] = - H [H,X] = aX . = - a Y (avec a > 0 ). oc est simple : en effet si un idéal 0 con- tient un élément 0 qui n’est pas un multiple de H est une combinaison linéaire / 0 do X et Y . Appliquant soit adX soit adY suif vaut les cas on trouve un multiple do = - H donc H mais alors X = "[H~X] 6 ~ Y = - ~- [H~Y] ~ 0 et 06 = ~ . Donc toute représentation de OC est complètement réductible et il suffit d’étudier les

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