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Sur la convergence absolue de certaines intégrales

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  • Mathematics

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Sur la convergence absolue de certaines intégrales SÉMINAIRE DE PROBABILITÉS (STRASBOURG) THIERRY JEULIN Sur la convergence absolue de certaines intégrales Séminaire de probabilités (Strasbourg), tome 16 (1982), p. 248-256. <http://www.numdam.org/item?id=SPS_1982__16__248_0> © Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1982, tous droits réservés. L’accès aux archives du séminaire de probabilités (Strasbourg) (http://www-irma. u-strasbg.fr/irma/semproba/index.shtml), implique l’accord avec les conditions gé- nérales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commer- ciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ SUR LA CONVERGENCE ABSOLUE DE CERTAINES INTEGRALES T. JEULIN (*) On cherche à donner des conditions nécessaires (et, si possible, suffisantes) pour que certaines intégrales soient absolument convergentes ; les critères énoncés découlent-de propriétés élémentaires des réarrangements. J’espêre que cette note démystifiera la démonstration d’un résultat sur le même sujet, établi antérieure- ment (voir ~Z~, page 44), tout en le complétant. 1 - SUR LES REARRANGEMENTS DE VARIABLES ALEATOIRES. La donnée de base est un espace probabilisé complet et notre point de départ est le résultat élémentaire suivant : Lemme 1 : Soit X une variable aléatoire positive ; on note u] la fonction de répartition de X ; fX est le réarrangement croissant de X (fX (u) - u) ; 0 u 1 ) ; enf in 03A6X(x) = )ll/ dUx - (0 ~ X ~ > ; y~ = . a) Munissons C0,1~ de la mesure de Lebesgue À ; la loi de f sous ~ est la loi de X. b) ~X est convexe, continue sur strictement positive ~X (0) = 0, En outre ~X (x) = et pour tout A de c]C, (* ) c) Soit G une fonction croissante positive sur R+ ; on a 03A6G(X)(x) = en particulier,

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