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Fórmulas de cuadratura con grado de precisión $2n-1$ correspondientes a un número arbitrario $m$ de nodos y a una localización también arbitraria de los mismos

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Publicacions de la Secció de Matemàtiques
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Abstract

Pub . Mat . UAB N° 22 Nov . 1980 Actes VII JMHL FORMULAS DE CUADRATURA CON GRADO DE PRECISION 2n-1 CORRESPONDIEN- TES A UN NUMERO ARBITRARIO m DE NODOS Y A UNA LOCALIZACION TAM- BIEN ARBITRARIA DE LOS MISMOS . Andrés Arroyo Pérez . Dpto . de Ecuaciones Funcionales Universidad de Sevilla Dado uñ entero positivo n, existe una fórmula de cuadratu- ra con precisión 2n-1 para la integral en [a,b] de la función f(x)C:Cn[a,b], fórmula definida para un número variable, _m, de nodos y para cualquier localización de los mismos en el interva- lo de integración considerado . Se expone como obtener los distin- tos elementos que definen la fórmula, así como cotas de error para la misma . Si en la expresión general de una fórmula de cuadratura, (para f (x) ECn [a,b] , p(x) .C-L[a,b], siendo p(x) 7¿ 0 en un conjun- to de medida positiva : con n-1 m p (x) f (x) dx = E E Ahif h) (xi ) + R(F) (1) h=0 i=1 Ahi - [ Ln-h-1 (0i (x) -,0 i-1 (x) ) l x=x .1 0<h<n-1 ; 1 <i<m y 208 X . ER(f) = i+1~1 (x)L(f(x))dx (3) i=0 IX .i obtenida para una localización arbitraria de los nodos : xo = a < xl < x2 . . . . . . . . < xm< b = xm+1 (4) y a partir del operador diferencial lineal de orden n, L, las funciones 0i (x), soluciones de la ecuación diferencial lineal L*0(x) = p(x) (5) se eligen de forma que cada 0 i (x) sea en [ xi ,x i+l ] , 0 < i < m, ortogonal a L(f(x)), se tendrá que la fórmula (1) será exacta para toda función f(x) tal que : rxi+l JI o¡(x)L(f(x))dx=0 (6) En el trabajo consideramos el caso en que, para cualquier localización de los nodos dados en (4), suponiendo siempre que x l = a y xm = b con lo que no se han de considerar ni 00 (x) ni Om(x) en (2) y (3), el operador viene dado por L = dn/dxn = Dn, p(x) = 1 y bajo estas hipótesis se obtienen fórmulas del tipo (1) exactas para todo polinomio de grado menor

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