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Irreductibilité de certaines représentations deG( x)

Authors
Journal
Journal of Functional Analysis
0022-1236
Publisher
Elsevier
Publication Date
Volume
30
Issue
1
Identifiers
DOI: 10.1016/0022-1236(78)90053-8
Disciplines
  • Mathematics

Abstract

Abstract Étant donné un groupe localement compact G et un espace mesuré ( X, μ) avec μ non atomique, notons G ( x) le groupe des applications mesurables de X dans G ne prenant qu'un nombre fini de valeurs. Il existe une méthode pour construire des représentations unitaires de G ( x) qui soient invariantes (àéquivalence unitaire près) par toutes les permutations de X conservant μ. Cette construction utilise la théorie des produits tensoriels continus de représentations; en gros, on sait associer une telle représentation U ̃ à tout triplet ( A, b, c) où A est une représentation unitaire de G, b un 1-cocycle pout A et c une application de G dans R qui vérifie Im(b(g) ¦ b(g′)) = c(gg′) − c(g) − c(g′) . Verchik, Gelfand Graiev ont démontré ( Funk. An. igo Priloz. 8 (1974), 67–69) que U ̃ est irreductible si b( G) est total dans l'espace de A et si de plus G contient un sous groupe compact K tel que b restreint à K soit nul et A ¦K ne contient pas la représentation triviale. Dans le présent article, nous démontrons un théorème de structure du commutant de U ̃ ; pour cela nous utilisons la théorie des formes standards des algèbres de Von Neumann ainsi qu'un théorème de Araki et Woods sur les algèbres booléennes complètes de facteurs de type I. Comme corollaire nous retrouvons le résultat précité de Verchik, Gelfand, Graiev et d'autre part que U ̃ est irréductible dès que A (non triviale) a la même propriété et que b n'est pas un cobord.

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