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Note du rédacteur

Publication Date
Source
legacy-msw
Disciplines
  • Geography
  • Mathematics

Abstract

Note du rédacteur NOUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES Note du rédacteur Nouvelles annales de mathématiques 3e série, tome 18 (1899), p. 419-420. <http://www.numdam.org/item?id=NAM_1899_3_18__419_1> © Nouvelles annales de mathématiques, 1899, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Nouvelles annales de mathématiques » implique l’accord avec les condi- tions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal. php). Toute utilisation commerciale ou impression sys- tématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la pré- sente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ NOTE DU RÉDACTEUR. Le théorème par lequel M. Fontené, dans l'article qui pré- cède, a étendu à l'espace le théorème de Bella\itis sur le qua- drangle plan, est susceptible d'une démonstration vectorielle. Il s'agit du théorème I. La démonstration suivante n'est pas celle à laquelle l'Auteur fait allusion à la fin du n° 7; il m'a paru plus facile d'établir les formules (4) du n° 1. Soient A, B, C, A', B', G' les vecteurs BC, CA, AB, DA, DB, DG dans le tétraèdre ABCD : a, b, c, ... seront les longueurs de ces vecteurs. Le triangle LMN de l'énoncé a pour cotés aar,bb', ce': les cosinus de ses angles seront donc ibcb'c' d'autre part, l'angle résultant défini par l'énoncé est celui du rapport géométrique—»-^* comme on le voit aisément, G.B.G'.B'; tout se réduit donc à étudier l'angle c2 c'* de C.B.C'.B', donnée par 6C.B.C.B' —,--,— = cos a. cbc b Or on a C.B.C'.B'= C.B(A;-+-B)(A'-f-C) = G.B.A'*-4-C.B.A/.C/-+-G.B«.Af-+-G.Bs.C, )—c*5(B.A') à cause de la formule connue .R.T) = S ( P . Q ) S ( R . T ) - S ( I \ R ) S ( Q . T ) -!-6(P.T)S(Q.R), qui réduit S(G.B.A'.G) à G26(B.A') ou — c2S(B.A'). Mais l'inspection de la figure donne On a donc S(C.B.C'.B') = bW+cW-a**^ ce qui démontre la proposition. On en déduit les t

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