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On an estimate of Walfisz and Saltykov for an error term related to the Euler function

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  • Mathematics

Abstract

On an estimate of Walfisz and Saltykov for an error term related to the Euler function JOURNAL DE THÉORIE DES NOMBRES DE BORDEAUX Y.-F. S. PÉTERMANN On an estimate ofWalfisz and Saltykov for an error term related to the Euler function Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome 10, no 1 (1998), p. 203-236. <http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1998__10_1_203_0> © Université Bordeaux 1, 1998, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux » (http://jtnb.cedram.org/) implique l’accord avec les condi- tions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute uti- lisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte- nir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ 203- On an estimate of Walfisz and Saltykov for an error term related to the Euler function par Y.-F. S. PÉTERMANN RÉSUMÉ . On étend la technique qui a permis à A. Walfisz d’établir (en 1962) l’estimation H(x) (logx)2/3(loglogx)4/3 pour le terme d’erreur lié à la fonction d’Euler H(x) = 03A3nx tout en incorporant à l’argument des simplifications rendues pos- sibles par des travaux de A.I. Saltykov et de A.A. Karatsuba. On remarque en passant que la preuve proposée en 1960 par Saltykov de H(x) (logx)2/3(loglogx)1+~ contient une faute, qui une fois corrigée ne livre "que" le résultat de Walfisz. Les généralisations obtenues s’appliquent aux termes d’erreurs liés à diverses fonctions arithmétiques classiques, et moins clas- siques, comme par exemple à (~(n)/n)r, (03C3(n)/n)r et (03C3(n)/~(n))r pour chaque valeur réelle de r, ou encore à 03C3(r) (n), la somme des diviseurs exponentiels d de n tels que p03B1 d si p203B1~n et 03B1 &#x3E; 1. ABSTRACT. The technique developed by A. Walfisz in order to prove (in 1962) the estimate H(x) (log x)2/3 (log lo

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