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Presentaciones de Módulos. Teorema de Estabilidad de Suslin en Z [X].

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Abstract

La comparación de módulos finitamente generados sobre anillos de polinomios es un problema de gran dificultad no resuelto. Salvo el caso de los anillos de polinomios en una variable con coeficientes en un cuerpo, donde tenemos la forma normal de Smith, poco podemos decir a la hora de establecer el carácter isomorfo de dos módulos definidos por sus matrices de presentación.Este problema tiene interés algebraico por sí mismo, pero también viene motivado por la aparición en Topología Algebraica de módulos asociados a objetos, con la condición de que los objetos equivalentes en esa categoría general módulos isomorfos sobre ciertos anillos. Empezamos recordando el ejemplo clásico de teoría de nudos, y el uso que se le da a los denominados ideales elementales. Un resultado que se remonta a Fitting establece una condición necesaria y suficiente para que dos matrices presenten el mismo módulo, basada en las transformaciones elementales. De esta forma tenemos una manera simple de probar el carácter invariante de entidades asociadas a los módulos. Lo aplicamos para la descomposición primaria canónica que se deduce del Teorema de Ortiz.Resulta pues interesante estudiar la acción de las denominadas matrices elementales sobre una matriz dada. En esta línea, damos una demostración constructiva del teorema de estabilidad de Suslin para Z[x]/(px), con p E Z un número primo. Esto nos permite diferenciar ciertos módulos sobre Z[x].

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