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Estimations spectrales asymptotiques en géométrie hermitienne

Authors
Publication Date
Keywords
  • [Math] Mathematics
  • [Math] Mathématiques
  • Fibré En Droites Hermitien
  • Forme De Courbure
  • Identité De Bochner-Kodaira-Nakano
  • Minoration Asymptotique Du Nombre De Valeurs Propres
  • Opérateur De Schrödinger
  • Spectre Du Laplacien Antiholomorphe
  • Variété Complexe
  • Variété Presque Complexe
Disciplines
  • Geography

Abstract

L'objet de cette thèse est l'étude de quelques problèmes de géométrie différentielle, dans les cadres complexe et presque complexe. Nous donnons d'abord des formules de type Bochner-Kodaira-Nakano pour des fibrés hermitiens au-dessus de variétés respectivement hermitiennes, presque kählériennes et presque complexes. Puis dans un deuxième temps, à l'aide d'une des formules précédentes, nous obtenons dans le cas complexe des estimées asymptotiques d'une partie du spectre de certains opérateurs différentiels : considérant une $(1,1)$-forme réelle fermée $\alpha$ (non nécessairement entière) sur une variété complexe compacte de dimension $n$, nous construisons une suite (indexée par $k$) de fibrés en droites hermitiens dont les formes de courbure approchent $k\alpha$. Les estimées asymptotiques portent sur le bas du spectre des laplaciens antiholomorphes associés aux fibrés, et la plus significative fait intervenir l'intégrale de $\alpha^n$ au-dessus des points d'indice 0 ou 1 de la variété. Elle n'est pertinente que si cette dernière intégrale est strictement positive.

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