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Inégalités de Cauchy et théorème d'unicité

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  • Mathematics

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Inégalités de Cauchy et théorème d'unicité Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres MARIE-CLAUDEDURIX Inégalités de Cauchy et théorème d’unicité Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres, tome 9, no 2 (1967-1968), exp. no G9, p. G 1-G 7. <http://www.numdam.org/item?id=SDPP_1967-1968__9_2_A15_0> © Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres (Secrétariat mathématique, Paris), 1967-1968, tous droits réservés. L’accès aux archives de la collection « Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ G9-01 INÉGALITÉS DE CAUCHY ET THÉORÈME D’UNICITÉ par Marie-Claude DURIX r Groupes d’Etudes de THEORIE DES NOMBRES Année 1967/68, n° 9 26 février 1968 1. Rappel t Inégalités de Cauchy. Soit K un corps valué ultramétrique complet algébriquement clos. On étudie la série de Taylor sur K : 1 Soit R le rayon de convergence de cette série. Si r R , on. pose : t THEOREME 1. - Inégalités de Cauchy (Ll], p. 58) : t THEOREME 2. - Principe du maximum ([1], p. 62) : 1 sauf si |f(x)|p ( est constant pour x j r . p p THEOREME 3 . - Cas où x - r ( ~ 2 ~, p . 10 ~ ~ : Si ~ x f - r , .~ (I p - p p f a lieu si, et seulement si, il existe un zéro z de f dans k tel que Démonstration. (a) Si f(z) = 0 , considérons la série f(z + x) : i c’est une série en x , sans terme constant, qui converge pour lx + zl p $ r , donc pour |x| p r . Donc, d’après les inégalités de Cauchy appliquées à f(x + z) et à f(x) : ë Un raisonnement analogue conduit à t(z + x) n’a pas de terme constant ; donc z+x)(r’) est une fonction crois-sante de r’ si r’ r ’ ’ 201

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