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Un théorème de convergence dans les $L^p ,0 \leq p < + \infty$

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  • Mathematics

Abstract

Un théorème de convergence dans les Lp ,0 p < + Séminaire Jean Leray. Sur les équations aux dérivées partielles LAURENT SCHWARTZ Un théorème de convergence dans les Lp,0 ≤ p < +∞ Séminaire Jean Leray, no 2 (1969-1970), p. 15-17. <http://www.numdam.org/item?id=SJL_1969-1970___2_15_0> © Séminaire Jean Leray (Collège de France, Paris), 1969-1970, tous droits réservés. L’accès aux archives de la collection « Séminaire Jean Leray » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commer- ciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou im- pression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ 15 UN THÉORÈME DE CONVERGENCE DANS LES LP,0 ~ p + ~ par M. LAURENT SCHWARTZ (1) Si est une suite d’éléments de Lp (Q,u), 0 » p + - p telle que pour toute suite de nombres réels tendant vers zéro E c X converge, alors E X converge aussi. nEN 11 Soit E un espace vectoriel topologique. Une suite X = d’éléments de E sera appelée pour toute suite scalaire c = (cn)nEIN conver- geant vers zéro la série E c X converge dans E . On dira que E est un . O-espace, si, pour toute C-suite converge. Les C-espaces ont été étudiés par Erik Thomas (2) j un espace neN localement convexe séquentiellement fai- blement complet est un C-espace, en particulier tous les espaces pour 1 # p + 00. Par contre sauf s--"L 4 est combinaison finie de mesures de Dirac, n’est pas un C-espace~ THÉORÈME. L’espace Lp (Q,u), 0 # p 1 , est aussi un Ces espaces ne sont plus localement convexes. est l’espace des 03BC-classes de fonctions 03BC-mesurables sur Q , muni de la topologie de la conver- gence en mesure. s 0 .L t x = une C-suite de L 0 (0 ,11.) . Sur tout ensemble de 03BC-mesure converge 03BC-Presque partout.1 ..,..~... , _que _.par ’ Ce lemme est dû à Kolmogoro

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