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Travaux de Zariski sur le 14e problème de Hilbert

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  • Mathematics

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Travaux de Zariski sur le 14e problème de Hilbert SÉMINAIRE N. BOURBAKI PIERRE SAMUEL Travaux de Zariski sur le 14e problème deHilbert Séminaire N. Bourbaki, 1951-1954, exp. no 99, p. 441-446. <http://www.numdam.org/item?id=SB_1951-1954__2__441_0> © Association des collaborateurs de Nicolas Bourbaki, 1951-1954, tous droits réservés. L’accès aux archives du séminaire Bourbaki (http://www.bourbaki. ens.fr/) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisa- tion (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commer- ciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ 441 TRAVAUX DE ZARISKI SUR LE 14e PROBLÈME DE HILBERT. par Pierre SAMUEL Séminaire BOURBAKI (Mai 1954) 1. Introduction. Soit k un corps. Un anneau A contenant k est dit de type fini sur k s’il est commutatif et s’il est engendré (sur k) par un nombre fini d’éléments : A = k[xl ’ ... , x ] . Le 14e problème de Hilbert est le suivant : Etant donnés un annfau de polynomes k[X1 , ... , Xn] = R’ et un sous-corps F (contenant k) du corps des fractions F’ de R = R’ n F est de type fini sur k . Le cas historiquement le plus important de ce problème est celui où F est le corps des invariants d’un groupe de substitutions linéaires portant sur les variables Xi . A première vue le 14e problème a l’air d’autant plus bénin que la propriété analo- gue pour les corps ("toute sous-extension d’une extension de type fini d’un corps k est de type fini") n’est qu’un brave petit exercice (qu’on trouve même dans Bourbaki). Cependant on commence à prévoir des difficultés dès qu’on s’aperçoit de l’existence de sous-anneaux d’anneaux de polynômes qui ne sont pas de type fini (par exemple le sous-anneau de Y] engendré sur k par X ~ X2y , ... ~ ...) . Nous ferons subir deux modificati

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